【院試体験記】大学院入試の筆記試験レポート

Aug. 29, 2019 追記 : 面接試験も終了したのでそちらの記事も書きました，．

https://daichidaiji.com/tohoku-inshi-interview/
高専から大学編入した際の編入体験記はこちらをどうぞ．
https://daichidaiji.com/tohoku-hen-nyu-report/

東北大学大学院工学研究科機械系 4 専攻の筆記試験がたった今終わりました．
自分としてはかなり出来が良かったと感じています．特に数学ができたように感じます．

この院試体験談は記憶が新しいうちにとりあえず残しておこうという気持ちで書いています．
役立った参考書や勉強スケジュール等は後日まとめて個別に投稿しようと思います．
(リクエストあったらください…！！)

総括

筆記試験は人生で一番冴えてたというか，運良く解法を思いついた問題が多くて，予想してたより 1.7 倍くらいできました．
一応全ての問題に完答しているので，方針そのものがミスっているとか無ければ平均 8〜9 割は取れた気がします．

できた時に言うと嫌味みたいですが，過去問と比較して数学も専門も難しい方だったと思います．

かかった時間を記載します．()内は制限時間．
数学A 80min (90 min)
数学B 70min (90 min)
流体力学＋制御工学 170min (180 min)
もともと数学はギリギリになるのを予想してましたが，専門科目も時間がかかったのは予想外でした．
今年は流体力学も制御工学も小問がとにかく多かった気がします．

試験内容

数学 A (1 日目)

大問 1 積分

不定積分，定積分，広義積分が各1問．
周りは結構できていなかったようです．特に広義積分．たしか
$\int_0^\infty \frac{x^2}{(x^2 + 2x + 2)^2}\mathrm{d}x$
だったと思います．僕は $\tan^{-1}$ の項と $(x^2+2x+2)^{-1}$ の項に分けて積分しました．
完答．

大問 2 線形代数

3次正方行列の固有値・固有ベクトルを求めて，
$A^3 + aA^2 + bA + cI = O$
を満たす $a,\ b,\ c$ を求める問題．
さらに $A^4 -7A^3 + 8A^2 + 2A + 3I$ (係数はあやふや) を求める問題．
僕は対角化して計算しましたが，ケーリー・ハミルトンが楽だったかもしれません．
完答したけど計算ミス怖い．

大問 3 ベクトル解析

$\mathbf{A} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathbf{i} + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathbf{j} + \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathbf{k}$
の $\nabla \cdot \mathbf{A}$ と $\nabla\times\mathbf{A}$ を求める小問．
その後はデカルト座標系の基底ベクトルと円筒座標系の基底ベクトルの関係を導出して，最後に
$\int_S \mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S$
を計算する問題だったと思います．発散定理使って解きました．曲面 S の式は覚えてないです．
完答．
数学 A は計算ミスがなければ9割は取れたと思います．

数学 B (1 日目)

今年から常微分方程式が数学A→数学Bに移行してきて，どんな問題になるのかなと期待していましたが，偏微分方程式が無くなってました．
ただ，来年以降も無いとは限らないので，試験範囲に偏微分方程式があったらしっかり対策してください，

大問1 常微分方程式

常微分方程式3問．
(1) $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = (y+4x-3)^2$ (係数あやふや)
(2) 非斉次の定数係数 2 階線形微分方程式．たしか右辺は $\sin x$ でした．
(3) オイラー型の非斉次微分方程式．うろ覚えですが， $x^2y'' -4xy' + 4y = \log x$
完答．

大問2 フーリエ変換

(1) 次のフーリエ変換を三角関数で表せ．
$\begin{cases} f(x) &= -x &(0 < x < 1) \\\ f(x) &= x-2 &(1 < x < 2) \\\ f(x) &= 0 &(x < 0,\ 2 < x) \end{cases}$
(2) $ \int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega = \int_{-\infty}^\infty \left{ f(x) \right}^2\mathrm{d}x $ を用いて，

$\int_0^\infty \dfrac{(\cos x - 1)^2}{x^4}\mathrm{d}x$

の値を求めよ．
(3) 以降は覚えてないです．
完答．

大問3 ラプラス変換

(1) $\mathcal{L}\left[\dfrac{f(t)}{t}\right] = \int_s^\infty F(s’) \mathrm{d}s’$ であることを示せ．
(2) $\sin ^2t$ のラプラス変換
(3) $\dfrac{\sin^2t}{t}$ のラプラス変換
(4) $\dfrac{e^{-2t}\sin^2t}{t}$ のラプラス変換 (あやふや)
完答．

2日目は専門科目です．僕は流体力学と制御工学を選択しました.
選択する科目にチェックを入れる紙が配られて，1つ目の教科と2つ目の教科をそれぞれ別の紙にチェックを入れました．(日本語下手すぎてビビる)

流体力学 (2日目)

大問1 ポテンシャル流れ

$Uz - m\log z$ について (主流 + 吸い込み) の問題

流れ関数と速度ポテンシャルを求めよ．
よどみ点座標を求めよ．
よどみ点を通過する流線が $y$ 軸と交差するときの座標を求めよ．
流線と流れの向きを図示せよ．
無限遠の圧力を $p_\infty$ とする時，よどみ点圧力を求め， $x$ 軸に沿った圧力分布を図示せよ．

多分こんな感じ．
ポテンシャル流れなのに，「なんで剥離しないんだ…」ってしばらく悩んでたので流線描くのに時間かかりました．
圧力分布が怪しいですが，それ以外は大丈夫なはず．

大問2 同心円筒を流れる周方向流れ

半径aとbの同心円筒(a < b)があって，内側は動かさずに，外側を角速度 $\Omega$ で回転させると流れは2次元定常周方向流れになった．このとき次の問題に答えよ．
みたいな導入文．半径方向と周方向の N-S 式 (Navier-Stokes Equation) が与えられています．

(a) 半径方向の N-S 式から $u_\theta,\ \rho,\ p$ の関係を求めよ．(変数は覚えてない)
(b) 周方向の N-S 式から $u_\theta,\ r$ の関係を求めよ．(こっちもあいまい)
(c) 忘れた．
(1) の (a) より，圧力は $u_\theta$ が存在すれば，勾配を持つことになる．この圧力勾配ができる理由を簡潔に答えよ．
(1) の (b) から $u_\theta$ を $\Omega,\ a,\ b$ を使って求めよ．ただし，この解の特殊解は $u_\theta = Cr^k$ となる．( $C,\ k$ は定数)

なんかあと 1, 2 問あった気がしなくはないですが，忘れました．東北大学公式サイトに過去問が公開されるのをお待ち下さい．
完答．

制御工学 (2日目)

大問1 古典制御

(1) フィードバック系のブロック線図から伝達関数を求める問題．
(2) この系の安定判別をせよ．
(3) 忘れた．
ほとんど忘れちゃいましたが，他にあった問題は
根軌跡を書かせる問題
ナイキスト線図から伝達関数を読み取って何かする問題
ベクトル軌跡を描く問題
ゲイン余裕を求める問題
とかがありました．
自信ない問題が 2，3 問ありました．

大問2 現代制御

(1) (状態変数を2つ持つ状態方程式と出力方程式が与えられた) レギュレータの問題 $\mathbf{f} = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}$ でフィードバックする時，系が安定となる $k_1,\ k_2$ の範囲
(2) $\mathbf{f} = \begin{bmatrix} 9 & 6 \end{bmatrix}$ とする時この状態方程式を対角化する対角化行列を求めよ．また，その座標変換によって得られる方程式を $\dot{\mathbf{z}} = \mathbf{M}\mathbf{z}$ とする時， $\mathbf{M}$ を求めよ．
(3) 対角正準形の状態方程式が与えられて，初期状態を $\mathbf{z}(0) = \begin{bmatrix} z_1(0) \ z_2(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$ とするとき，単位ステップ応答を求めよ．
(4) (3) に状態変数が1つ加わって，(偏差の微分値になってた) その時の状態方程式を求める問題．
(5) (4) の系の定常偏差 $e(\infty)$ を求める問題．
完答．

アドバイス

集合時間について

集合時間が9時とか8時半とかですが，早く来すぎると暇だと思います．
集合時間の10分前とかに試験会場が開くのでそれまでは外で待機しとかなきゃいけません．

特に受付とかも無かったので，特に外部からいらっしゃる方はそこまで早く来なくてもいいのかなと思います．
ほとんどの方が地下鉄で来ると思いますが，ほとんど遅延するということは無いので，計画通りの時間に着けると思います．

微分方程式について

今年から常微分方程式が数学A→数学Bに引っ越してきました．
僕としては偏微分方程式を解かせる過程で常微分方程式が出てきたりする複合問題なのかなと予想してましたが，なんと偏微分方程式そのものがリストラされていました．

ただ，来年もそうとは限らないので，常微分方程式・偏微分方程式ともにしっかり対策してください．
今年の流体力学はオイラー形の常微分方程式を解いて速度を出す問題も出ているのでそういう意味でも．

コンビニ

機械系のすぐ近くにデイリーヤマザキがありますが，朝とか昼とかは受験生でごった返すので，外部の人とかで不安な人はあらかじめ飲み物とか買っておくといいかもしれません．

試験中のトイレ

試験中のトイレって禁止されていると思っていましたが，大丈夫なようです．何人か行って普通に入室して解き直してました．ただ，試験監督が付いてきます．
専門科目とか3時間持つかな…と不安でしたが，これから受ける人は最悪トイレ言っちゃえばいいので安心あれ．

おわり

おわりです．
編入試験と比べると「一匹狼感」が無かったというか，内情をある程度わかった状態で受けたのであまりバッキバキに気合い入れて受けたという感じじゃなかったのがこの体験記からも伝わってるかもしれません．

しかし振り返ってみるとどの教科も本質的な理解が必要で，高専の5年間+大学の2年間の総復習をした気分です．

大学院に入ってからも中だるみなど無いように突っ走って研究しようと思うので応援よろしくお願いします．